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Logische Systeme

Es gibt eine syntaktische und eine semantische Ebene

Repr�sentation: W --> folgt logisch --> B

Welt: Semantik(W) --> folgt notwendigerweise --> Semantik (B)

W und Semantik(W) sowie B und Semantik(B) sind �ber die Semantik miteinander verkn�pft. Die Welt und Repr�sentationen sollen sich entsprechen! Man kann / darf das aber nat�rlich nicht �bertreiben.

Korrektheit der Simulation

Inferenzrelation ben�tigt die Formalisierung eines logischen Systems:

• Syntax
• Semantik
• Inferenzregeln
• Korrektheitskriterien

Signaturen

Vokabular, mit dem syntaktische Beschreibungen zur Repr�sentation von Wissen gebildet werden.

Formeln

Syntax zur Darstellung von Wissen, Symbolen in SIGMA (Alphabet / Signaturen) dienen als Basiselemente

Interpretationen

liefern die Semantik

Erf�llungsrelation |=: verkn�pft Interpretation und Formeln:

I |= F

"Die Interpretation I erf�llt die Formel F"

|- wird syntaktisch angewandt, |= ist f�r die Semantik zust�ndig.

Signaturen SIGMA
Formeln Form(SIGMA)
Interpretationen Int(SIGMA)
Erf�llungsrelation |=_SIGMA

Klassische Logik

In der Klassischen Logik definiert jede InterpretationI? eine Wahrheitswertfunktion |[_]|_I

I |= _SIGMA F iff |[ F ]|_I = true

Tautologie

allgemeing�ltige Formel, T. Allgemeing�ltig, in _jeder_ Interpretation wahr.

erf�llbare Formel

es gibt mindestens eine Interpretation, f�r die die Formel wahr ist

Kontradiktionen (widerspr�chliche Formeln, _|_)

_immer_ falsch.

G folgt logisch aus F ( F |= G )

gdw (genau dann wenn)

jedes Modell von F ist Modell von G

Mod_SIGMA (F) Unterteilmenge von Mod_SIGMA(G)

wobei

Mod_SIGMA (F) = { I (- Int(SIGMA) | I |=_SIGMA F }

Modelle sind alle Interpretationen, die angewendet auf die Formel wahr ergeben.

klassisch-logischer Inferenzoperator:

C_n: 2^{Form(SIGMA)} -> 2^{Form(SIGMA)}

alle Formeln, die

C_n(F):= { G (- Formel (SIGMA) | F |= G }

Eine Menge von Formeln F (- Formel (SIGMA) ist (deduktiv) abgeschlossen, genau dann wenn

C_n(F) = F

Alles Ableitbare ist hier in F vorhanden.

Deduktionstheorem:

F |= G gdw |= F => G

(kennen wir aus der Algebra)

2^Form(SIGMA) = P^Form(SIGMA)

deduktiv abgeschlossen hei�t auch: riesig (bis unendlich) und schwer zu rep�sentieren. Jedoch gut geeignet f�r die theoretische Unterst�tzung von Kalk�len.

GAMMA |= A -> B

zu zeigen: A -> B

GAMMA, A |= B

In nicht klassischen Logiken gilt deduktiv oft nicht oder nur mit Einschr�nkungen.

AussagenLogik

Last modified 2005-03-07 19:09 by rck